Задача 54924

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В параллелограмме ABCD точки E и F лежат соответственно на сторонах AB и BC, M – точка пересечения прямых AF и DE, причём  AE = 2BE,
а  BF = 3CF.  Найдите отношение  AM : MF.

Подсказка

Пусть прямые BC и DE пересекаются в точке K. Треугольник KBE подобен треугольнику DAE, а треугольник AMD – треугольнику FMK.

Также доступны документы в формате TeX

Решение

  Пусть K – точка пересечения прямых BC и DE. Обозначим  AD = 4a.  Тогда  BF = ¾ BC = ¾ AD = 3a.
  Из подобия треугольников KBE и DAE находим, что  BK = AD·^BE/_AE = 2a,  а из подобия треугольников AMD и FMK –   AM : MF = AD : FK = 4 : 5.

Ответ

4 : 5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2868