ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54928
Темы:    [ Треугольник (экстремальные свойства) ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Формула Герона ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC со стороной AC = 8 проведена биссектриса BL. Известно, что площади треугольников ABL и BLC относятся как 3 : 1. Найдите биссектрису BL, при которой высота, опущенная из вершины B на основание AC, будет наибольшей.


Подсказка

Воспользуйтесь свойством биссектрисы и теоремой косинусов.


Решение

По свойству биссектрисы треугольника $ {\frac{AL}{CL}}$ = $ {\frac{AB}{BC}}$, а т.к.

$\displaystyle {\frac{AL}{CL}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta ABL}}{S_{\Delta BLC}}}$ = 3,

то $ {\frac{AB}{BC}}$ = 3.

Обозначим BC = a. Тогда AB = 3a. По формуле Герона

S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle \sqrt{(2a + 4)(a + 4)(4 - a)(2a - 4)}$ = 2$\displaystyle \sqrt{(a^{2} - 4)(16 - a^{2})}$.

Пусть BH — высота треугольника ABC. Обозначим BH = h. Тогда

S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AC . h = 4h,

поэтому

h = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ . 2$\displaystyle \sqrt{(a^{2} - 4)(16 - a^{2})}$ $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(a2 - 4 + 16 - a2) = 3,

причём равенство достигается при a2 - 4 = 16 - a2, т.е. при a = $ \sqrt{10}$. Тогда

BC = a = $\displaystyle \sqrt{10}$AB = 3a = 3$\displaystyle \sqrt{10}$.

Из прямоугольного треугольника AHB находим, что

sin$\displaystyle \angle$BAH = $\displaystyle {\frac{BH}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{h}{3a}}$ = $\displaystyle {\frac{3}{3\sqrt{10}}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{10}}}$.

Тогда cos$ \angle$BAH = $ {\frac{3}{\sqrt{10}}}$ (угол BAH острый, поскольку в треугольнике ABC он лежит против стороны BC < AB), а т.к.

AL = AC . $\displaystyle {\frac{AL}{AC}}$ = 8 . $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ = 6,

то по теореме косинусов находим, что

BL2 = AB2 + AL2 - 2AB . AL cos$\displaystyle \angle$BAH = 90 + 36 - 2 . 3$\displaystyle \sqrt{10}$ . 6 . $\displaystyle {\frac{3}{\sqrt{10}}}$ =

= 126 - 108 = 18.

Следовательно, AL = 3$ \sqrt{2}$.


Ответ

3$ \sqrt{2}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2872

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .