Информация о задаче

Задача 54937

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известно, что AB = 6, BC = 9, AC = 10. Биссектриса угла B пересекает сторону AC в точке M. На отрезке BM взята точка O так, что BO : OM = 3 : 1. Площадь какого из треугольников AOB, BOC или AOC является наименьшей?

Решение

По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{AM}{CM}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{BC}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{6}{9}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ .

Поэтому

S_ABM = $\displaystyle {\frac{AM}{AC}}$ S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{5}}$ S_ABC, S_CBM = $\displaystyle {\frac{CM}{AC}}$ S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ S_ABC,

S_AOB = $\displaystyle {\frac{BO}{BM}}$ S_ABM = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{5}}$ S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{10}}$ S_ABC,

S_COB = $\displaystyle {\frac{BO}{MM}}$ S_CBM = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{20}}$ S_ABC,

Значит,

S_AOC = S_ABC - S_AOB - S_COB = S_ABC - $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{10}}$ S_ABC - $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{20}}$ S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S_ABC.

Следовательно, наименьшую площадь имеет треугольник AOC.

Ответ

Треугольник AOC.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2881