Задача 54943

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Пусть r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника. Докажите, что площадь треугольника равна r(2R + r).

Подсказка

Пусть вписанная окружность с центром O касается катетов BC и AC прямоугольного треугольника ABC в точках M и N соответственно. Тогда площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольника AOB и квадрата OMCN.

Решение

Пусть вписанная окружность с центром O касается гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC в точке K, а катетов BC и AC -- в точках M и N соответственно. Тогда

AK = AN, BK = BM, CM = CN = OM = ON = r,

поэтому треугольник ANO равен треугольнику AKO, треугольник BMO равен треугольнику BKO, а четырёхугольник OMCN — квадрат. Следовательно,

S_ABC = 2S_AOK + 2S_BOK + S_OMCN =

= 2(S_AOK + S_BOK) + S_OMCN =

= 2S_AOB + S_OMCN = AB ^. OK + OM² = AB ^. r + r² =

= 2Rr + r² = r(2R + r).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2887