Задача 54974

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C₁, A₁ и B₁, причём  AC₁ : C₁B = BA₁ : A₁C = CB₁ : B₁A = 2 : 1.
Найдите площадь треугольника, вершины которого – попарные пересечения отрезков AA₁, BB₁, CC₁, если площадь треугольника ABC равна 1.

Подсказка

Найдите отношение, в котором делятся точкой пересечения отрезки AA₁ и BB₁.

Решение

  Пусть отрезки AA₁ и BB₁ пересекаются в точке K, отрезки AA₁ и CC₁ – в точке M, а отрезки BB₁ и CC₁ – в точке N. Через точку B₁ проведём прямую, параллельную AA₁ до пересечения со стороной BC в точке P. По теореме Фалеса  PA₁ = ¹/₃ CA₁ = ¹/₆ BA₁.  Снова по теореме Фалеса  KB₁ = ¹/₆ BK = ¹/₇ BB₁.  Поэтому  S_ABK = ⁶/₇·¹/₃ S_ABC = ²/₇.
  Аналогично  S_BMC = S_ANC = ²/₇.  Следовательно,  S_MNK = S_ABC – S_ABK – S_BMC – S_ANC = 1 – ⁶/₇ = ¹/₇.

Ответ

¹/₇.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3030