Задача 54988

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка P – середина боковой стороны AB. Точка R на стороне CD выбрана так, что  2CD = 3RD.  Прямые AR и PD пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника APQ, если  AD = 2BC.

Подсказка

Найдите отношение  PQ : QD.

Решение

  Пусть T – точка пересечения прямых AR и BC. Из подобия треугольников CRT и DRA находим, что   CT = ^DR/_RC·AD = ½ AD.
  Поэтому  BT = AD,  а ABTD – параллелограмм.

  Из подобия треугольников APQ и TDQ находим, что  PQ : QD = AP : TD = AP : AB = 1 : 2.
  Следовательно,  S_APQ = ¹/₃ S_APD = ¹/₆ S_ABD = ²/₃·¹/₆ S_ABCD = ¹⁰/₃.

Ответ

¹⁰/₃.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3044