|
|
 |
Условие
Пусть M, N, K и L — середины сторон CD, DA, AB и BC квадрата ABCD, площадь которого равна S. Найдите площадь четырёхугольника, образованного прямыми AM, BN, CK и DL.
Подсказка
Найдите отношение отрезков, на которые отрезок BN делится отрезками AM и CK.
Решение
Пусть прямые AM и BN пересекаются в точке P, BN и CK — в точке Q, CK и DL — в точке R, DL и AM — в точке T. Тогда PQRT — также квадрат. Опустим перпендикуляр CH из вершины C исходного квадрата на прямую AM. Заметим, что RCHT — квадрат, равный квадрату PQRT. Поскольку треугольники CHM и DTM равны, то они равновелики. Значит, площадь квадрата RCHT равна площади треугольника DCL. Рассуждая анлогично, придём к тому, что площадь квадрата ABCD равна пяти площадям квадрата PQRT.
Ответ
S.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3047 |
