Задача 54993

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Отношения площадей ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан выпуклый четырёхугольник площади S. Внутри него выбирается точка и отображается симметрично относительно середин его сторон. Получаются четыре вершины нового четырёхугольника. Найдите его площадь.

Подсказка

Площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного выпуклого четырёхугольника в два раза меньше площади данного четырёхугольника.

Решение

Пусть M, N, K и L — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD, P — точка внутри этого четырёхугольника; X, Y, Z и T — образы точки P при симметрии относительно точек M, N, K и L соответственно.

Тогда MN — средняя линия треугольника XPY. Поэтому

S_XPY = S_MNP.

Записав аналогичные равенства для треугольников YPZ, ZPT и TPX, получим, что

S_XYZT = 4S_MNKL = 4 ^. S = 2S.

Пусть M, N, K и L — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD, P — точка внутри этого четырёхугольника; X, Y, Z и T — образы точки P при симметрии относительно точек M, N, K и L соответственно.

Тогда MN — средняя линия треугольника XPY. Поэтому

S_XPY = S_MNP.

Записав аналогичные равенства для треугольников YPZ, ZPT и TPX, получим, что

S_XYZT = 4S_MNKL = 4 ^. S = 2S.

Пусть M, N, K и L — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD, P — точка внутри этого четырёхугольника; X, Y, Z и T — образы точки P при симметрии относительно точек M, N, K и L соответственно.

Тогда MN — средняя линия треугольника XPY. Поэтому

S_XPY = S_MNP.

Записав аналогичные равенства для треугольников YPZ, ZPT и TPX, получим, что

S_XYZT = 4S_MNKL = 4 ^. S = 2S.

Ответ

2S.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3049