Информация о задаче

Задача 54995

Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Отношения площадей	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Из точки P, расположенной внутри остроугольного треугольника ABC, опущены перпендикуляры на его стороны. Длины сторон и опущенных на них перпендикуляров соответственно равны a и k, b и m, c и n. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника, вершинами которого служат основания перпендикуляров.

Подсказка

Синусы углов между указанными перпендикулярами равны синусам соответствующих углов треугольника ABC.

Решение

Пусть K, M и N — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны BC = a, AC = b, AB = c соответственно; PK = k, PM = m, PN = n. Тогда

S_KMN = S_MPN + S_KPN + S_MPK =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ mn sin(180^o - $\displaystyle \angle$ A) + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ kn sin(180^o - $\displaystyle \angle$ B) + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ km sin(180^o - $\displaystyle \angle$ C) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (mn sin $\displaystyle \angle$ A + kn sin $\displaystyle \angle$ B + km sin $\displaystyle \angle$ C).

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta KMN}}{S_{\Delta ABC}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{1}{2}(mn\sin \angle A + kn\sin \angle B + km\sin \angle C)}{\frac{1}{2}bc\sin \alpha}}$ =

$\displaystyle {\frac{mn + kn\cdot \frac{\sin \angle B}{\sin \angle A}+km\cdot \frac{\sin \angle C}{\sin \angle A}}{bc}}$ = $\displaystyle {\frac{mn + kn\cdot \frac{b}{a}+km\cdot \frac{c}{a}}{bc}}$ = $\displaystyle {\frac{nma+knb + kmc}{abc}}$ .

Ответ

${\frac{abc}{kmc + nma + knb}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3051