Информация о задаче

Задача 55008

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена биссектриса AD. Площади треугольников ABD и ADC равны соответственно S₁ и S₂. Найдите AC.

Обозначьте AB = BC = y, AC = x и составьте систему из двух уравнений.

Обозначим AB = BC = y, AC = x. Пусть BK — высота треугольника ABC. Тогда

S₂ + S₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.BK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ x $\displaystyle \sqrt{y^{2}-\frac{x^{2}}{4}}$ ,

$\displaystyle {\frac{S_{1}}{S_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{BD}{DC}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{y}{x}}$ .

Выразим y из второго уравнения и подставим в первое. После возведения обеих частей в квадрат получим:

$\displaystyle {\frac{x^{4}(4S^{2}_{1} - S^{2}_{2})}{4S^{2}_{2}}}$ = 4(S₁ + S₂)².

Отсюда находим, что

x = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{S_{2}(S_{1} + S_{2})}}{\root{4}\of{4S_{1}^{2}- S_{2}^{2}}}}$ .

${\frac{2\sqrt{S_{2}(S_{1} + S_{2})}}{\root{4}\of{4S_{1}^{2}- S_{2}^{2}}}}$ .


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3064