Задача 55014

Темы:    [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Трапеции (прочее) ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E. Известно, что площадь каждого из треугольников ABE и DCE равна 1, площадь всего четырёхугольника не превосходит 4,  AD = 3.  Найдите сторону BC.

Подсказка

Докажите, что  BC || AD.

Решение

  Согласно задаче 35162  BC || AD.
  Пусть  BC = x.  Из подобия треугольников BEC и DEA следует, что  S_BEC = ^BE/_ED·S_DCE = ^x/₃,  S_DEA = ^DE/_BE·S_ABE = ³/_x.
  По условию  S_ABCD ≤ 4,  поэтому  ^x/₃ + ³/_x ≤ 2.
  С другой стороны, согласно неравенству Коши эта сумма не меньше 2, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно 1. Следовательно,  ^x/₃ + ³/_x = 1,  x = 3.

Ответ

3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3070