Задача 55020

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ] [ Площадь трапеции ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дана трапеция MNPQ с основаниями MQ и NP. Прямая, параллельная основаниям, пересекает боковую сторону MN в точке A, а боковую сторону PQ – в точке B. Отношение площадей трапеций ANPB и MABQ равно ²/₇. Найдите AB, если  NP = 4,  MQ = 6.

Подсказка

Проведите через точки P и B прямые, параллельные стороне MN, и рассмотрите полученные подобные треугольники.

Решение 1

  Обозначим  AB = x.  Пусть h₁ и h₂ – высоты трапеций ANPB и MAPQ. Тогда   = ²/₇.
  Через точку P проведём прямую, параллельную NA, до пересечения с отрезком AB в точке C, а через точку B – прямую, параллельную AM, до пересечения с отрезком MQ в точке D. Тогда h₁ и h₂ – высоты треугольников PCB и BDQ. Поскольку эти треугольники подобны, то  ^h₁/_h2 = ^BC/_QD = ^x–4/_6–x.
  Таким образом,  ^x2–16/_36–x² = ²/₇.  Отсюда  x = .

Решение 2

  Пусть площадь трапеции равна S. Через точку P проведём прямую, параллельную NM, до пересечения с основанием MQ в точке K. Тогда  KQ = 2,  значит,  S_MNPK = 4S_KPQ,  то есть  SKPQ = ^S/₅.
  Пусть  ^NA/_NM = k.  Тогда  ^2S/₉ = S_ANPB = S_ANPC + S_CPB = k·^4S/₅ + k²·^S/₅,  то есть  9k² + 36k – 10 = 0.  Отсюда  
  Из подобия треугольников CPB и KPQ следует, что   AB = AC + CB = 4 + 2k = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3076