Информация о задаче

Задача 55036

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) биссектрисы BD и AF пересекаются в точке O. Отношение площади треугольника DOA к площади треугольника BOF равно ${\frac{3}{8}}$ . Найдите отношение ${\frac{AC}{AB}}$ .

Подсказка

Используя свойство биссектрисы треугольника, выразите площади указанных треугольников через площадь треугольника ABC

Решение

Первый способ.

Обозначим AD = DC = a, AB = BC = b. Пусть S — площадь треугольника ABC. По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{BO}{OD}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{AD}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{a}}$ , $\displaystyle {\frac{BF}{FC}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{2a}}$ .

Поэтому

$\displaystyle {\frac{OD}{BD}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{a + b}}$ , $\displaystyle {\frac{BO}{BD}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{a + b}}$ , $\displaystyle {\frac{BF}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{2a + b}}$ .

Тогда

S_AOD = $\displaystyle {\frac{OD}{BD}}$ ^.S_ABD = $\displaystyle {\frac{a}{a + b}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S,

S_BOF = $\displaystyle {\frac{BO}{BD}}$ ^. $\displaystyle {\frac{BF}{BC}}$ S_DBC = $\displaystyle {\frac{b}{a + b}}$ ^. $\displaystyle {\frac{b}{2a + b}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S.

Из условия задачи следует, что

$\displaystyle {\frac{a}{a + b}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{8}}$ ^. $\displaystyle {\frac{b}{a + b}}$ ^. $\displaystyle {\frac{b}{2a + b}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S,

или

8a(2a + b) = 3b², 16a² + 8ab - 3b² = 0, 16 $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a}{b}}\right.$ $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a}{b}}\right)^{2}_{}$ + 8 $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a}{b}}\right.$ $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a}{b}}\right)$ - 3 = 0.

Отсюда находим, что ${\frac{a}{b}}$ = ${\frac{1}{4}}$ . Следовательно,

$\displaystyle {\frac{AC}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{2a}{b}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Второй способ.

Опустим из центра O вписанной окружности перпендикуляр OE на сторону BC. Тогда OD = OE. Обозначим AD = DC = a, AB = BC = b, EF = x.

Поскольку

S_AOD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AD^.OD, S_OFB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BF^.OE, S_AOD = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{8}}$ S_OFB,

то

BF = $\displaystyle {\textstyle\frac{8}{3}}$ a = b - a - x.

По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{AC}{FC}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{BF}}$ , или $\displaystyle {\frac{2a}{a+x}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{b-a-x}}$ .

Исключив x из полученных уравнений, получим, что ${\frac{a}{b}}$ = ${\frac{1}{4}}$ . Следовательно,

$\displaystyle {\frac{AC}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{2a}{b}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Ответ

${\frac{1}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3092