Задача 55037

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB, AC и BC правильного треугольника ABC расположены соответственно точки C₁, B₁ и A₁ так, что треугольник A₁B₁C₁ – правильный. Отрезок BB₁ пересекает сторону C₁A₁ в точке O, причём  ^BO/_OB1 = k.  Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника A₁B₁C₁.

Подсказка

Найдите отношение перпендикуляров, опущенных из точек B и B₁ на прямую A₁C₁.

Решение

  Пусть I – центр треугольника A₁B₁C₁. Поскольку  ∠A₁IC₁ = 120°, то четырёхугольник A₁B₁C₁I – вписанный. Поэтому углы A₁BI и C₁BI равны как опирающиеся на равные хорды, то есть BI – биссектриса угла B.
  Следовательно, I является также центром треугольника ABC. Значит, при повороте на 60° вокруг I треугольники A₁BC₁, B₁CA₁ и C₁AB₁ переходят друг в друга и поэтому равны.
  Если Q – точка пересечения отрезков CC₁ и A₁B₁, то  ^CQ/_QB1 = ^BO/_OB1 = k.   Опустим из точек B и B₁ перпендикуляры BM и B₁N на прямую A₁C₁. Тогда треугольники BMO и B₁NO подобны,  ^BM/_B1N = ^BO/_OB1 = k.  Поэтому  S_A1C1B = kS_A1B1C1.
  Значит,  S_ABC = (1 + 3k)S_A1B1C1.

Ответ

1 + 3k.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3093