Задача 55044

Темы:    [ Построения ] [ Перегруппировка площадей ] [ Медиана делит площадь пополам ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Через точку K , данную на стороне AB треугольника ABC , проведите прямую так, чтобы она разделила площадь треугольника пополам.

Решение

Если точка K совпадает с серединой P стороны AB , то искомая прямая — это прямая CP , т.к. медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника. Пусть точка K не совпадает с P . Через точку P проведём прямую, параллельную CK . Если K лежит между точками A и P , то проведённая прямая пересекает сторону BC . Пусть M — точка пересечения, O — точка пересеченния диагоналей CP и KM трапеции CKPM . Тогда

S_{Δ OKP} = S_{Δ OCM}, S_{Δ BCP}=S_{Δ ABC},
поэтому
S_{Δ BKM}=S_BPOM+S_{Δ OKP} = S_BPOM+S_{Δ OCM} = S_{Δ BPC}=S_{Δ ABC}.
Следовательно, прямая KM делит треугольник ABC на две равновеликие части. Если K лежит между точками B и P , то прямая, проведённая через точку P параллельно CK , пересекает сторону AC . Остальное аналогично.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3100