Информация о задаче

Задача 55045

Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В ромбе ABCD, где $\angle$ BAD = 60^o, перпендикуляр к стороне AD, восстановленный из середины AD, пересекает диагональ AC в точке M, а перпендикуляр к стороне CD, восстановленный из середины CD, пересекает диагональ AC в точке N. Найдите отношение площади треугольника MND к площади ромба ABCD.

Подсказка

MN = ${\frac{1}{3}}$ AC.

Решение

Первый способ.

Обозначим через a сторону ромба. Тогда

CN = AM = $\displaystyle {\frac{AD}{2\cos 30^{\circ}}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{\sqrt{3}}}$ ,

MN = AC - 2AM = a $\displaystyle \sqrt{3}$ - $\displaystyle {\frac{2a}{\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{\sqrt{3}}}$ ,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta DMN}}{S_{\Delta ADC}}}$ = $\displaystyle {\frac{MN}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{a}{\sqrt{3}}}{a\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ .

Следовательно, ${\frac{S_{\Delta MND}}{S_{ABCD}}}$ = ${\frac{1}{6}}$ .

Второй способ.

Пусть K — точка пересечения диагоналей ромба. Поскольку треугольники ABD и BCD — равносторонние, то M и N — точки пересечения их медиан. Поэтому

S_DMK = S_DNK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ S_ABD.

Следовательно, S_MND = ${\frac{1}{6}}$ S_ABCD.

Ответ

${\frac{1}{6}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3101