Информация о задаче

Задача 55050

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике со сторонами a, b и c проведены биссектрисы, точки пересечения которых с противолежащими сторонами являются вершинами второго треугольника. Докажите, что отношение площадей этих треугольников равно ${\frac{2abc}{(a + b)(a + c)(b + c)}}$ .

Подсказка

Биссектриса делит основание треугольника на отрезки, пропорциональные боковым сторонам.

Решение

Пусть AM, BN и CK — биссектрисы треугольника ABC и AB = c, AC = b и BC = a. Если S_ABC = S, то

S_AKN = $\displaystyle {\frac{AK}{AB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AN}{AC}}$ S.

По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{AK}{KB}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{a}}$ , $\displaystyle {\frac{AN}{NC}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{a}}$ .

Поэтому

$\displaystyle {\frac{AK}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{a + b}}$ , $\displaystyle {\frac{AN}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{a + c}}$ .

Следовательно,

S_AKN = $\displaystyle {\frac{bcS}{(a + b)(a + c)}}$ .

Аналогично для треугольников BKM и CMN. Тогда

S_KMN = S - $\displaystyle {\frac{bcS}{(a + b)(a + c)}}$ - $\displaystyle {\frac{acS}{(a + b)(b + c)}}$ - $\displaystyle {\frac{abS}{(a + c)(b + c)}}$ = $\displaystyle {\frac{2abcS}{(a + b)(a + c)(b + c)}}$ .

Пусть AM, BN и CK — биссектрисы треугольника ABC и AB = c, AC = b и BC = a. Если S_ABC = S, то

S_AKN = $\displaystyle {\frac{AK}{AB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AN}{AC}}$ S.

По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{AK}{KB}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{a}}$ , $\displaystyle {\frac{AN}{NC}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{a}}$ .

Поэтому

$\displaystyle {\frac{AK}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{a + b}}$ , $\displaystyle {\frac{AN}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{a + c}}$ .

Следовательно,

S_AKN = $\displaystyle {\frac{bcS}{(a + b)(a + c)}}$ .

Аналогично для треугольников BKM и CMN. Тогда

Пусть AM, BN и CK — биссектрисы треугольника ABC и AB = c, AC = b и BC = a. Если S_ABC = S, то

S_AKN = $\displaystyle {\frac{AK}{AB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AN}{AC}}$ S.

По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{AK}{KB}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{a}}$ , $\displaystyle {\frac{AN}{NC}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{a}}$ .

Поэтому

$\displaystyle {\frac{AK}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{a + b}}$ , $\displaystyle {\frac{AN}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{a + c}}$ .

Следовательно,

S_AKN = $\displaystyle {\frac{bcS}{(a + b)(a + c)}}$ .

Аналогично для треугольников BKM и CMN. Тогда

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3106