Информация о задаче

Задача 55066

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D. Известно, что BD = 4, DC = 6. Найдите площадь треугольника ADC.

Подсказка

Примените свойство биссектрисы треугольника

Решение

По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{AB}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{BD}{DC}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ .

Обозначим AB = 2x, AC = 3x. По теореме Пифагора

BC² + AB² = AC², или 100 + 4x² = 9x².

Отсюда находим, что x = 2 $\sqrt{5}$ . Тогда

AB = 4 $\displaystyle \sqrt{5}$ , S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC^.AB = 20 $\displaystyle \sqrt{5}$ .

Следовательно,

S_ADC = $\displaystyle {\frac{DC}{BC}}$ S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ S_ABC = 12 $\displaystyle \sqrt{5}$ .

Ответ

12 $\sqrt{5}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3122