Информация о задаче

Задача 55082

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Отношения площадей	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дана трапеция ABCD с основаниями AD = 3 $\sqrt{39}$ и BC = $\sqrt{39}$ . Кроме того дано, что угол BAD равен 30^o, а угол ADC равен 60^o. Через точку D проходит прямая, делящая трапецию на две равновеликие фигуры. Найдите длину отрезка этой прямой, находящегося внутри трапеции.

Подсказка

Указанная прямая пересекает отрезок AB. Пусть K — точка пересечения. Найдите отношение высот треугольника AKD и трапеции.

Решение

Поскольку S_ABD = 3S_BCD, то указанная прямая пересекает отрезок AB. Пусть K — точка пересечения. Тогда

S_AKD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AD + BC}{2}}$ h = h $\displaystyle \sqrt{39}$ ,

где h — высота трапеции ABCD. С другой стороны,

S_AKD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AD^.h₁ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{39}\cdot h_{1}}{2}}$ ,

где h₁ — высота треугольника AKD. Поэтому ${\frac{h_{1}}{h}}$ = ${\frac{2}{3}}$ и ${\frac{AK}{AB}}$ = ${\frac{2}{3}}$ .

Проведём через вершину B прямую, параллельную стороне CD, до пересечения с основанием AD в точке P. Тогда

AP = AD - DP = AD - BC = 2 $\displaystyle \sqrt{39}$ .

Из прямоугольного треугольника ABP находим, что

AB = AP cos 30^o = 3 $\displaystyle \sqrt{13}$ .

Поэтому AK = ${\frac{2}{3}}$ AB = 2 $\sqrt{13}$ . По теореме косинусов из треугольника AKD находим:

DK² = AK² + AD² - 2AK^.AD cos 30^o =

= 4^.13 + 9^.39 - 2^.2 $\displaystyle \sqrt{13}$ ^.3 $\displaystyle \sqrt{39}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 169.

Следовательно, DK = 13.

Ответ

13.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3138