Информация о задаче

Задача 55088

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]
Темы:	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD, площадь которого равна 1, взяты точки: K — на AB, L — на BC, M — на CD, N — на AD. При этом ${\frac{AK}{KB}}$ = 2, ${\frac{BL}{LC}}$ = ${\frac{1}{3}}$ , ${\frac{CM}{MD}}$ = 1, ${\frac{DN}{NA}}$ = ${\frac{1}{5}}$ . Найдите площадь шестиугольника AKLCMN.

Подсказка

S_BKL = ${\frac{BK}{AB}}$ ^. ${\frac{BL}{BC}}$ ^.S_ABC.

Решение

Проведём диагональ AC. Поскольку

S_BKL = $\displaystyle {\frac{BK}{AB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{BL}{BC}}$ ^.S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{12}}$ ^.S_ABC,

S_DMN = $\displaystyle {\frac{DN}{AD}}$ ^. $\displaystyle {\frac{DM}{DC}}$ ^.S_ADC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{12}}$ ^.S_ADC,

S_BKL + S_DMN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{12}}$ ^.(S_ABC + S_ADC) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{12}}$ ^.S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{12}}$ ,

то

S_AKLCMN = S_ABCD - (S_BKL + S_DMN) = 1 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{12}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{11}{12}}$ .

Ответ

${\frac{11}{12}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3144