ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55125
Темы:    [ Две пары подобных треугольников ]
[ Отношение площадей подобных треугольников ]
[ Отношение площадей треугольников с общим углом ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Золотых А.

Каждая сторона треугольника разделена на три равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых – шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника, если площадь данного треугольника равна S.


Подсказка

Вершины указанного шестиугольника делят стороны каждого из полученных треугольников на три равные части.


Решение

  Пусть ABC – данный треугольник. Обозначим указанные точки деления, как показано на рисунке. Тогда  SA1B1C1 = 1/3 S.
  Пусть F – точка пересечения прямых C2A2 и AC, MNKLPQ – шестиугольник, о котором говорится в условии. Из равенства треугольников FA2C и C2A2A1 следует, что  CF = C2A1 = 1/3 AC.
  Из подобия треугольников A1NC2 и B1NF находим, что  A1N : NB1 = C2A1 : B1F = 1 : 2.  Аналогично  A1M : MC1 = 1 : 2.  Поэтому  SA1MN = 1/9 SA1B1C1 = S/27.
  Аналогично  SB1KL = SC1PQ = S/27.  Следовательно,  SMNKLPQ = S/3 – 3·S/27 = 2S/9.


Ответ

2S/9.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3200

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .