Задача 55127

Темы:    [ Медиана делит площадь пополам ] [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, разделил его на два четырёхугольника, имеющих равные площади. Докажите, что эти стороны параллельны.

Подсказка

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Решение

Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ и $S_{AMND} = S_{BMNC}$

Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому треугольники $AMN$ и $BMN$ равновелики. Тогда $$ S_{\Delta AND}=S_{AMND}-S_{\Delta AMN} = S_{BMNC}-S_{\Delta BMN}=S_{\Delta BNC}, $$

т.е. треугольники $ADN$ и $BNC$ также равновелики. Поэтому высоты $AA_1$ и $BB_1$ этих треугольников равны. Следовательно, $AB \parallel CD$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3202