Информация о задаче

Задача 55139

Темы:	[	Перегруппировка площадей	]
Темы:	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Адамов А.А.

Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного этими перпендикулярами шестиугольника равна половине площади треугольника.

Подсказка

Разбейте указанный шестиугольник на четыре треугольника средними линиями данного треугольника.

Решение

Пусть A₁, B₁, C₁ — середины сторон соответственно BC, AC, AB остроугольного треугольника ABC; пусть также перпендикуляры, опущенные из точки C₁ на AC и из точки B₁ на AB, пересекаются в точке M; из точки C₁ на BC и из точки A₁ на AB — в точке N; из точки A₁ на AC и из точки B₁ на BC — в точке K. Тогда M, N, K — точки пересечения высот треугольников AB₁C₁, BA₁C₁, CA₁B₁ соответственно.

Треугольник C₁MB₁ равен треугольнику BNA₁, а треугольник A₁KB₁ — треугольнику BNC₁ (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Следовательно,

S_{A₁KB₁MC₁N} = S_A₁B₁C₁ + S_A₁NC₁ + S_C₁MB₁ + S_A₁KB₁ =

= S_A₁B₁C₁ + S_A₁NC₁ + S_BNA₁ + S_BNC₁ =

= S_A₁B₁C₁ + S_A₁BC₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S_ABC + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S_ABC.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3214