Информация о задаче

Задача 55144

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
Темы:	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Сефибеков С.

Отрезки AK, BM, CN и DL делят квадрат ABCD со стороной 1 на четыре треугольника с площадями s₁, s₂, s₃, s₄ и пять четырёхугольников (см. рисунок). Площадь центрального четырёхугольника равна s₀, причём s₀ = s₁ + s₂ + s₃ + s₄. Докажите равенство:

AL + BK + CM + DN = 2.

Подсказка

Докажите, что

S_ABK + S_BCM + S_CDN + S_DAL = S_ABCD.

Решение

Поскольку

s₀ = S_ABCD - S_ABK - S_BCM - S_CDN - S_DAL +

+ s₁ + s₂ + s₃ + s₄, s₀ = s₁ + s₂ + s₃ + s₄,

то

S_ABK + S_BCM + S_CDN + S_DAL = S_ABCD,

или

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BK^.AB + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ CM^.BC + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ DN^.CD + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AL^.AD = AB^.BC,

а т.к. AB = BC = CD = AD = 1, то

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (BK + CM + DN + AL) = 1, или BK + CM + DN + AL = 2.

Это утверждение верно для любого ромба.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3219