ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55152
Тема:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника меньше его периметра, но больше полупериметра.


Подсказка

Пусть M – точка пересечения диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD. Примените неравенство треугольника сначала к треугольникам ABC, ADC, BAD и BCD, а затем – к треугольникам AMC, BMC, AMD, AMB.


Решение

  Пусть M – точка пересечения диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD. Применим неравенство треугольника к треугольникам ABC, ADC, BAD и BCD:   AC < AB + BC,  AC < DA + DC,  BD < AB + AD,  BD < CB + CD.  Сложив эти четыре неравенства, получим:  2(AC + BD) < 2(AB + BC + CD + AD).

  Запишем неравенства треугольника для треугольников AMB, BMC, CMD и AMD:  AM + MB > AB,  BM + MC > BC,  MC + MD > CD,  MA + MD > AD.  Сложив эти неравенства, получим:  2(AC + BD) > AB + BC + CD + AD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3506
олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер 10
Дата 1987
задача
Номер 08

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .