Информация о задаче

Задача 55160

Темы:	[	Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите,что площадь любого четырёхугольника ABCD не превосходит ${\frac{1}{2}}$ (AB^.BC + AD^.DC).

Подсказка

Если данный четырёхугольник не выпуклый, достройте его до выпуклого.

Решение

Если четырёхугольник выпуклый, то диагональ AC разбивает его на два треугольника — ABC и ADC. Тогда

S_ABCD = S_ABC + S_ADC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.BC sin $\displaystyle \angle$ ABC + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AD^.DC sin $\displaystyle \angle$ ADC $\displaystyle \leqslant$

$\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.BC + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AD^.DC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AB^.BC + AD^.DC).

Пусть четырёхугольник не выпуклый. Предположим, что точки B и D лежат по одну сторону от прямой AC, и расстояние от точки B до прямой AC меньше, чем от точки D. Пусть B₁ — точка, симметричная точке B относительно прямой AC. Тогда

S_ABCD < S_AB₁CD $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AB₁^.B₁C + AD^.DC) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AB^.BC + AD^.DC).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3514