Версия для печати
Убрать все задачи

---

Построить треугольник по высоте и медиане, выходящим из одной вершины, и радиусу описанного круга.

   Решение

---

В ряд выписаны числа 1, 2, 3, ..., n. За один ход разрешается поменять местами любые два числа.
Может ли после 1989 таких операций порядок чисел оказаться исходным?

   Решение

---

Квадратный лист бумаги разрезали на шесть кусков в форме выпуклых многоугольников; пять кусков затерялись, остался один кусок в форме правильного восьмиугольника (см. рисунок). Можно ли по одному этому восьмиугольнику восстановить исходный квадрат?

   Решение

---

Биссектрисы AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. На отрезках A₁I и B₁I построены как на основаниях равнобедренные треугольники с вершинами A₂ и B₂, лежащими на прямой AB. Известно, что прямая CI делит отрезок A₂B₂ пополам. Верно ли, что треугольник ABC – равнобедренный?

   Решение

---

Две высоты треугольника равны 12 и 20. Докажите, что третья высота меньше 30.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две высоты треугольника равны 12 и 20. Докажите, что третья высота меньше 30.

Подсказка

Произведение основания на высоту для данного треугольника постоянно.

Решение

Пусть a, b, c — стороны треугольника; к стороне a проведена высота, равная 12, к стороне b — высота, равная 20, к стороне c -- высота h. Тогда

Положим a = 5x, b = 3x. Поскольку 5x ^. 12 = ch, то h = . Поскольку a, b, c — стороны треугольника, то

Следовательно

Источники и прецеденты использования