Информация о задаче

Задача 55180

Темы:	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известно, что $\angle$ B $\geqslant$ 90^o. На отрезке BC взяты точки M и N так, что лучи AN и AM делят угол BAC на три равные части. Докажите, что BM < MN < NC.

Подсказка

Примените свойство биссектрисы треугольника.

Решение

В треугольнике ABN отрезок AM — биссектриса. Поскольку угол ABN — тупой или прямой, то AN > AB. Поэтому из свойства бисссектрисы треугольника следует, что BM < MN. Поскольку

$\displaystyle \angle$ AMC = $\displaystyle \angle$ ABC + $\displaystyle \angle$ BAM,

то $\angle$ AMC — тупой. Следовательно, AC > AM и MN < NC.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3534