Информация о задаче

Задача 55185

Темы:	[	Неравенства для углов треугольника	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что большему из двух острых вписанных углов соответствует большая хорда.

Решение

Первый способ.

Пусть R — радиус окружности, $\alpha$ — величина вписанного угла ( $\alpha$ < 90^o), a — длина соответствующей хорды. Тогда a = 2R sin $\alpha$ .

При возрастании $\alpha$ от 0^o до 90^o sin $\alpha$ возрастает, следовательно, возрастает и a.

Второй способ.

Пусть $\angle$ BAC < $\angle$ LKM < 90^o — углы, вписанные в окружность с центром O (BC и LM — хорды этой окружности). В треугольниках OBC и OLM:

OB = OL, OC = OM, $\displaystyle \angle$ BOC = 2 $\displaystyle \angle$ BAC < 2 $\displaystyle \angle$ LKM = $\displaystyle \angle$ LOM.

Следовательно, BC < LM.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3539