ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55215
Темы:    [ Общие четырехугольники ]
[ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть ABCD и A1B1C1D1 — два выпуклых четырёхугольника с соответственно равными сторонами. Докажите, что если $ \angle$A > $ \angle$A1, то $ \angle$B < $ \angle$B1, $ \angle$C > $ \angle$C1, $ \angle$D < $ \angle$D1.


Подсказка

Поскольку AB = A1B1, AD = A1D1, а $ \angle$A > $ \angle$A1, то BD > B1D1.


Решение

Рассмотрим треугольники ABD и A1B1D1. Поскольку AB = A1B1, AD = A1D1, а $ \angle$A > $ \angle$A1, то BD > B1D1. Рассматривая аналогично треугольники BCD и B1C1D1, получим, что $ \angle$C > $ \angle$C1.

Предположим теперь, что $ \angle$B $ \geqslant$ $ \angle$B1. Тогда AC $ \geqslant$ A1C1. Поэтому $ \angle$D $ \geqslant$ $ \angle$D1. Поскольку сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360o, то

360o = $\displaystyle \angle$A + $\displaystyle \angle$B + $\displaystyle \angle$C + $\displaystyle \angle$D > $\displaystyle \angle$A1 + $\displaystyle \angle$B1 + $\displaystyle \angle$C1 + $\displaystyle \angle$D1 = 360o,

что невозможно. Следовательно, $ \angle$B < $ \angle$B1, а $ \angle$D < $ \angle$D1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3569

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .