Информация о задаче

Задача 55215

Темы:	[	Общие четырехугольники	]
Темы:	[	Неравенства для элементов треугольника (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть ABCD и A₁B₁C₁D₁ — два выпуклых четырёхугольника с соответственно равными сторонами. Докажите, что если $\angle$ A > $\angle$ A₁, то $\angle$ B < $\angle$ B₁, $\angle$ C > $\angle$ C₁, $\angle$ D < $\angle$ D₁.

Подсказка

Поскольку AB = A₁B₁, AD = A₁D₁, а $\angle$ A > $\angle$ A₁, то BD > B₁D₁.

Решение

Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁. Поскольку AB = A₁B₁, AD = A₁D₁, а $\angle$ A > $\angle$ A₁, то BD > B₁D₁. Рассматривая аналогично треугольники BCD и B₁C₁D₁, получим, что $\angle$ C > $\angle$ C₁.

Предположим теперь, что $\angle$ B $\geqslant$ $\angle$ B₁. Тогда AC $\geqslant$ A₁C₁. Поэтому $\angle$ D $\geqslant$ $\angle$ D₁. Поскольку сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360^o, то

360^o = $\displaystyle \angle$ A + $\displaystyle \angle$ B + $\displaystyle \angle$ C + $\displaystyle \angle$ D > $\displaystyle \angle$ A₁ + $\displaystyle \angle$ B₁ + $\displaystyle \angle$ C₁ + $\displaystyle \angle$ D₁ = 360^o,

что невозможно. Следовательно, $\angle$ B < $\angle$ B₁, а $\angle$ D < $\angle$ D₁.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3569