Задача 55218

Темы:    [ Неравенства для углов треугольника ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что среди всех треугольников с данным основанием и высотой, опущенной на это основание, наибольшую величину противолежащего угла имеет равнобедренный треугольник.

Подсказка

Через вершину равнобедренного треугольника проведите касательную к описанной окружности.

Решение

  Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC  (AB = AC)  с основанием  BC = a  и высотой  AM = h.  Центр описанной окружности этого треугольника лежит на прямой AM. Проведём в точке A касательную к этой окружности.
  Если A₁ – любая точка этой касательной, отличная от A, то высота треугольника BA₁C, опущенная на BC, также равна h. Поскольку точка A₁ лежит вне проведённой окружности, то отрезок BA₁ пересекает эту окружность. Пусть K – отличная от B точка пересечения. Тогда
∠BAC = ∠BKC = ∠BA₁C + ∠KCA₁ > ∠BA₁C.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3572