Задача 55238

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ] [ Неравенство Коши ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольник с периметром 2p вписана окружность. К этой окружности проведена касательная, параллельная стороне треугольника. Найдите наибольшую возможную длину отрезка этой касательной, заключённого внутри треугольника.

Подсказка

Расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания с вписанной окружностью равно разности полупериметра и противолежащей стороны.

Решение

  Пусть PQ – указанный отрезок касательной к окружности, вписанной в треугольник ABC с периметром 2p,  PQ || AC.  Обозначим  PQ = x,  AC = b.
  Треугольники BPQ и BAC подобны с коэффициентом ^x/_b. Если p₁ – полупериметр треугольника BPQ, то  p₁ = p·^x/_b. С другой стороны, если K – точка касания вписанной окружности со стороной AB, то  p₁ = BK = p – b.  Поэтому  p·^x/_b = p – b.  Следовательно,     причём равенство достигается при  b = ^p/₂.

Ответ

^p/₄.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3592