Задача 55239

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Шестиугольники ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В некотором царстве, в некотором государстве есть несколько городов, причём расстояния между ними все попарно различны. В одно прекрасное утро из каждого города вылетает по одному самолету, который приземляется в ближайшем соседнем городе. Может ли в одном городе приземлиться более пяти самолетов?

Подсказка

Наибольший угол треугольника не меньше 60°.

Решение

Допустим, что в городе P приземлится 6 самолетов, вылетевших из городов A₁, A₂, ..., A₆, и точки A₁, A₂, ..., A₆ – последовательные вершины шестиугольника. Поскольку расстояние между городами A₁ и A₂ больше расстояния от каждого из них до города P, то  ∠A₁PA₂ > 60°.  Аналогично углы A₂PA₃, A₃PA₄, A₄PA₅, A₅PA₆, A₆PA₁ больше 60°. Значит, полный угол при точке P превосходит 360°. Противоречие.

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3593
web-сайт
задача