|
|
 |
Условие
На плоскости даны прямая l и две точки P и Q, лежащие по одну сторону от неё. Найдите на прямой l такую точку M, для которой расстояние между основаниями высот треугольника PQM, опущенных на стороны PM и QM, наименьшее.
Подсказка
Если окружность с диаметром PQ не имеет общих точек с прямой l, то задача сводится к построению окружности, проходящей через точки P и Q и касающейся прямой l.
Решение
Пусть PK и QH – высоты треугольника PQM. Тогда точки K и H лежат на окружности с диаметром PQ. Если эта окружность имеет с прямой l общие точки, то каждая из этих точек является искомой точкой M, поскольку в этом случае расстояние между
основаниями указанных высот равно 0: точки K и H совпадают с M.
Предположим, что указанная окружность не имеет общих точек с
прямой l. Поскольку точка M в этом случае лежит вне
окружности, то угол PMQ – острый. Треугольники KMH и PMQ подобны с коэффициентом cos∠PMQ. Поэтому
KH = PQ cos∠PMQ. Следовательно, отрезок KH – наименьший, если угол PMQ – наибольший.
Таким образом, задача сводится к построению на прямой l такой точки M, для которой угол PMQ – наибольший. Рассмотрим
меньшую из двух окружностей, проходящих через точки P и Q и
касающихся прямой l (построение таких окружностей описано в задаче 57251). Тогда точка касания есть искомая точка M.
Действительно, если M1 – произвольная точка прямой l, отличная от M, а D – точка пересечения отрезка PM1 с построенной окружностью, то
∠PM1Q < ∠PDQ = ∠PMQ.
