Задача 57251

Тема:    [ Окружности (построения) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

а) Даны две точки A, B и прямая l. Постройте окружность, проходящую через точки A, B и касающуюся прямой l.
б) Даны две точки A и B и окружность S. Постройте окружность, проходящую через точки A и B и касающуюся окружности S.

Решение

а) Пусть l₁ — серединный перпендикуляр к отрезку AB, C — точка пересечения прямых l₁ и l, а l' — прямая, симметричная l относительно прямой l₁. Задача сводится к тому, чтобы построить окружность, проходящую через точку A и касающуюся прямых l и l' (см. задачу 19.15).
б) Можно считать, что центр окружности S не лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB (иначе построение очевидно). Возьмем произвольную точку C окружности S и построим описанную окружность треугольника ABC; она пересекает S в некоторой точке D. Пусть M — точка пересечения прямых AB и CD. Проведем к окружности S касательные MP и MQ. Тогда описанные окружности треугольников ABP и ABQ искомые, так как  MP² = MQ² = MA ^. MB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	8
Название	Построения
Тема	Построения
параграф
Номер	8
Название	Окружности
Тема	Окружности (построения)
задача
Номер	08.056