ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55242
Темы:    [ Неравенство треугольника ]
[ Четырехугольники (экстремальные свойства) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин данного выпуклого четырёхугольника минимальна


Подсказка

Примените неравенство треугольника.


Решение

Пусть M — точка пересечения диагоналей AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD. Тогда для произвольной точки K верны следующие неравенства:

AK + KC $\displaystyle \geqslant$ ACBK + KD $\displaystyle \geqslant$ BD.

Поэтому

KA + KC + KB + KD $\displaystyle \geqslant$ AC + BD = MA + MC + MB + MD,

причём равенство достигается только в том случае, когда точка K совпадает с M.


Ответ

Точка пересечения диагоналей.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3596

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .