Задача 55242

Темы:    [ Неравенство треугольника ] [ Четырехугольники (экстремальные свойства) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин данного выпуклого четырёхугольника минимальна

Подсказка

Примените неравенство треугольника.

Решение

Пусть M — точка пересечения диагоналей AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD. Тогда для произвольной точки K верны следующие неравенства:

AK + KC AC, BK + KD BD.

Поэтому

KA + KC + KB + KD AC + BD = MA + MC + MB + MD,

причём равенство достигается только в том случае, когда точка K совпадает с M.

Ответ

Точка пересечения диагоналей.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3596