Информация о задаче

Задача 55243

Темы:	[	Перенос помогает решить задачу	]
Темы:	[	Четырехугольники (экстремальные свойства)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Среди всех четырёхугольников с данными диагоналями и данным углом между ними найдите четырёхугольник наименьшего периметра.

Подсказка

Если K и M образы вершины D четырёхугольника ABCD при параллельных переносах на векторы $\overline{BC}$ и $\overline{BA}$ соответственно, то четырёхугольник ACKM — параллелограмм.

Решение

Пусть диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD равны соответственно a и b, а угол между ними равен $\alpha$ . При параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{BA}$ диагональ BD переходит в отрезок AM; при параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{BC}$ диагональ BD переходит в отрезок CK. Тогда четырёхугольник ACKM — параллелограмм со сторонами a и b и углом $\alpha$ между ними. Если N — точка пересечения диагоналей AK и CM этого параллелограмма, то

AB + BC + CD + AD = DM + DK + DC + DA =

= (DM + DC) + (DK + DA) $\displaystyle \geqslant$ CM + AK = NC + NM + NA + NK.

Следовательно, вершина D искомого четырёхугольника ABCD минимального периметра должна совпасть с точкой N.

Параллелограмм ACKM можно построить по двум сторонам и углу между ними. Вершина D искомого четырёхугольника есть точка пересечения диагоналей этого параллелограмма, а четвёртая вершина B — образ точки D при параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{KC}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3597