ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55245
Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри остроугольного треугольника ABC выбрана точка M, являющаяся:

а) точкой пересечения медиан;

б) точкой пересечения биссектрис;

в) точкой пересечения высот.

Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники AMB, BMC, AMC равны, то треугольник ABC — правильный.


Подсказка

а) Предположите, что AB > BC и воспользуйтесь формулой S = pr.

б) Точка M совпадает с центром равностороннего треугольника с вершинами в центрах указанных окружностей.

Предположите, что BC > AC и воспользуйтесь тем, что против большей стороны треугольника лежит больший угол.


Решение

а) Поскольку площади треугольников AMB, BMC и AMC равны (каждая из них составляет третью часть площади треугольника ABC), то из формулы S = pr следует, что равны и периметры этих треугольников (рис 1).

Допустим, что AB > BC. Тогда угол ADB — тупой (D — середина стороны AC). Поэтому AM > MC. Следовательно, периметр треугольника AMB больше периметра треугольника BMC, что невозможно.

б) Пусть O1, O2, O3 — центры вписанных окружностей треугольников AMB, BMC и AMC. Поскольку радиусы этих окружностей равны, а BM — биссектриса угла ABC, то первая и вторая окружности касаются отрезка BM в одной и той же точке (рис.2). Аналогично для остальных пар окружностей.

Поскольку биссектрисы треугольника ABC являются серединными перпендикулярами к сторонам равностороннего треугольника O1O2O3, то точка M — центр треугольника O1O2O3. Поэтому, например, $ \angle$BMC = 120o, а т.к. $ \angle$BMC = 90o + $ {\frac{1}{2}}$$ \angle$A, то $ \angle$A = 60o. Аналогично $ \angle$B = 60o.

в) Предположим, что BC > AC (рис.3). Обозначим через D и E точки касания вписанных окружностей треугольников AMC и BMC со сторонами AC и BC соответственно, r — радиус окружностей. Поскольку радиусы этих окружностей равны и $ \angle$CAM = $ \angle$CBM, то AD = BE. Поэтому CD < CE.

С другой стороны, поскольку BC > AC, то $ \angle$BAC > $ \angle$ABC. Поэтому

$\displaystyle \angle$MCA = 90o - $\displaystyle \angle$BAC < 90o - $\displaystyle \angle$ABC = $\displaystyle \angle$BCM.

Тогда

CD = r cos$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$MCA > r cos$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$BCM = CE,

что невозможно. Аналогично докажем, что BC не может быть меньше AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3599

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .