ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск | |
|
Задача 55245
УсловиеВнутри остроугольного треугольника ABC выбрана точка M, являющаяся: а) точкой пересечения медиан; б) точкой пересечения биссектрис; в) точкой пересечения высот. Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники AMB, BMC, AMC равны, то треугольник ABC — правильный.
Подсказкаа) Предположите, что AB > BC и воспользуйтесь формулой S = pr. б) Точка M совпадает с центром равностороннего треугольника с вершинами в центрах указанных окружностей. Предположите, что BC > AC и воспользуйтесь тем, что против большей стороны треугольника лежит больший угол.
Решениеа) Поскольку площади треугольников AMB, BMC и AMC равны (каждая из них составляет третью часть площади треугольника ABC), то из формулы S = pr следует, что равны и периметры этих треугольников (рис 1). Допустим, что AB > BC. Тогда угол ADB — тупой (D — середина стороны AC). Поэтому AM > MC. Следовательно, периметр треугольника AMB больше периметра треугольника BMC, что невозможно. б) Пусть O1, O2, O3 — центры вписанных окружностей треугольников AMB, BMC и AMC. Поскольку радиусы этих окружностей равны, а BM — биссектриса угла ABC, то первая и вторая окружности касаются отрезка BM в одной и той же точке (рис.2). Аналогично для остальных пар окружностей.
Поскольку биссектрисы треугольника ABC являются серединными
перпендикулярами к сторонам равностороннего треугольника
O1O2O3,
то точка M — центр треугольника
O1O2O3. Поэтому, например,
в) Предположим, что BC > AC (рис.3). Обозначим через D и E
точки касания вписанных окружностей треугольников AMC и BMC со
сторонами AC и BC соответственно, r — радиус окружностей.
Поскольку радиусы этих окружностей равны и
С другой стороны, поскольку BC > AC, то
CD = r cos
что невозможно. Аналогично докажем, что BC не может быть меньше
AC.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
![]() |
Пишите нам
|
![]() |