Информация о задаче

Задача 55272

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведённую из вершины A, если BC = 18, AC = 15, AB = 12.

Подсказка

Примените теорему косинусов.

Решение

Первый способ.

Пусть AK — биссектриса треугольника ABC. Тогда

$\displaystyle {\frac{CK}{KB}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{AB}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{15}{12}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{4}}$ .

Поэтому

BK = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$ BC = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$ ^.18 = 8.

По теореме косинусов из треугольника ABC находим, что

cos $\displaystyle \angle$ B = $\displaystyle {\frac{AB^{2} + BC^{2} - CA^{2}}{2 AB\cdot BC}}$ = $\displaystyle {\frac{144 + 324 - 225}{2\cdot 12\cdot 18}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{16}}$ .

Следовательно,

AK² = BK² + AB² - 2BK^.AB cos $\displaystyle \angle$ B = 144 + 64 - 108 = 100.

Второй способ.

Пусть AK — биссектриса треугольника ABC. Тогда

$\displaystyle {\frac{CK}{KB}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{AB}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{15}{12}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{4}}$ .

Поэтому

BK = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$ BC = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$ ^.18 = 8, CK = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{9}}$ BC = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{9}}$ ^.18 = 10.

По формуле для квадрата биссектрисы треугольника находим, что

AK² = AB^.AC - BK^.CK = 12^.15 - 8^.10 = 180 - 80 = 100.

Следовательно, AK = 10.

Ответ

10.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4019