|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC точка D делит сторону AB пополам, а точка E лежит на стороне BC, причём отрезок BE в 3 раза меньше стороны BC. Отрезки AE и CD пересекаются в точке O. Найдите AB, если известно, что AE = 5, OC = 4, а ∠AOC = 120°.
Подсказка
Продолжите отрезок AE до пересечения с прямой, проведённой через вершину C параллельно AB, и рассмотрите две пары образовавшихся подобных треугольников.
Решение
Проведём через точку C прямую, параллельную AB, и продолжим отрезок AE до пересечения с проведённой прямой в точке T. Из подобия треугольников CET и BEA следует, что
CT = 2AB = 4AD.
Из подобия треугольников COT и DOA находим, что
CO : OD = TO : OA = CT : AD = 4 : 1. Поэтому OD = ¼ CO = 1,
AO = 1/5 AT = 1/5 (AE + ET) = 3/5 AE = 3.
По теореме косинусов AD² = AO² + DO² – 2AO·DO cos∠AOD = 9 + 1 – 2·3·1·cos 60° = 7, AB = 2AD.
Ответ
2.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4043 |
