Версия для печати
Убрать все задачи

---

Решить в целых числах уравнение  x³ – 2y³ – 4z³ = 0.

   Решение

---

Для каждого натурального n обозначим через  s(n)  сумму цифр его десятичной записи. Назовём натуральное число m особым, если его нельзя представить в виде  m = n + s(n).  (Например, число 117 не особое, поскольку  117 = 108 + s(108),  а число 121, как нетрудно убедиться, – особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?

   Решение

---

Для любых чисел a₁ и a₂, удовлетворяющих условиям  a₁ ≥ 0,  a₂ ≥ 0,  a₁ + a₂ = 1,  можно найти такие числа b₁ и b₂, что  b₁ ≥ 0,  b₂ ≥ 0,  b₁ + b₂ = 1,
(⁵/₄ – a₁)b₁ + 3(⁵/₄ – a₂)b₂ > 1.  Доказать.

   Решение

---

Позиционная система счисления. Докажите, что при q 2 каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде

где 0 a₀,..., a_k < q

   Решение

Темы:    [ Углы между биссектрисами ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для произвольного треугольника выполняется равенство

где r — радиус вписанной окружности, , и -- углы треугольника ABC, a = BC.

Подсказка

Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Рассмотрите треугольник BOC.

Решение

Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда

По теореме синусов из треугольника OBC находим, что

Следовательно,

Источники и прецеденты использования