Задача 78155

Темы:    [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Для любых чисел a₁ и a₂, удовлетворяющих условиям  a₁ ≥ 0,  a₂ ≥ 0,  a₁ + a₂ = 1,  можно найти такие числа b₁ и b₂, что  b₁ ≥ 0,  b₂ ≥ 0,  b₁ + b₂ = 1,
(⁵/₄ – a₁)b₁ + 3(⁵/₄ – a₂)b₂ > 1.  Доказать.

Решение

Предположим, что  ⁵/₄ – a₁ ≤ 1  и  3(⁵/₄ – a₂) ≤ 1.  Умножив первое неравенство на 3 и сложив со вторым, получим  3(⁵/₂ – a₁ – a₂) ≤ 4,  откуда
a₁ + a₂ ≥ ⁵/₂ – ⁴/₃ = ⁷/₆ > 1,  что противоречит условию.
  Итак, одно из чисел  ⁵/₄ – a₁ ≤ 1,  3(⁵/₄ – a₂)  больше единицы. Следовательно, достаточно взять либо  b₁ = 1,  b₂ = 0,  либо  b₁ = 0,  b₂ = 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	21
Год	1958
вариант
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	2