Информация о задаче

Задача 55315

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведена высота BM, биссектриса BN и медиана BL. Известно, что AM = MN = NL. Найдите тангенс угла A этого треугольника.

Подсказка

Примените свойство биссектрисы треугольника.

Решение

Обозначим AM = MN = NL = x, $\angle$ A = $\alpha$ , AB = a. Тогда

CL = AL = 3x, AN = 2x, CN = 4x.

По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{AB}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{AN}{NC}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Поэтому BC = 2AB = 2a.

По теореме Пифагора

BM² = AB² - AM² = BC² - CM², или a² - x² = 4a² - 25x².

Отсюда находим, что a = 2x $\sqrt{2}$ . Следовательно,

cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{AM}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{x}{a}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{2\sqrt{2}}}$ , tg $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \sqrt{7}$ .

Ответ

$\sqrt{7}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4062