Информация о задаче

Задача 55319

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC биссектриса угла ABC пересекает сторону AC в точке K. Известно, что BC = 2, KC = 1, BK = ${\frac{3\sqrt{2}}{2}}$ . Найдите площадь треугольника ABC.

Подсказка

Найдите косинус угла C и воспользуйтесь свойством биссектрисы треугольника.

Решение

По теореме косинусов из треугольника BKC находим, что

cos $\displaystyle \angle$ C = $\displaystyle {\frac{BC^{2} + KC^{2} - BK^{2}}{2BC\cdot KC}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$ .

По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{AB}{AK}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{KC}}$ = 2.

Обозначим AK = x. Тогда AB = 2x, и по теореме косинусов из треугольника ABC находим, что

AB² = AC² + BC² - 2AC^.BC cos $\displaystyle \angle$ C, или 4x² = (x + 1)² + 4 - 2^.2^.(x + 1)^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$ .

Из этого уравнения находим, что x = ${\frac{3}{2}}$ . Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC^.AC sin $\displaystyle \angle$ C = $\displaystyle {\frac{15\sqrt{7}}{16}}$ .

Ответ

${\frac{15\sqrt{7}}{16}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4066