Информация о задаче

Задача 55321

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD основание AD равно $\sqrt{7}$ . Диагонали AC и DB пересекаются в точке K. Известно, что AK = 1, KD = 2, $\angle$ BAC = $\angle$ DAC. Найдите площадь треугольника ABC.

Подсказка

Найдите $\angle$ CAD по теореме косинусов из треугольника KAD и воспользуйтесь свойством биссектрисы треугольника.

Решение

Обозначим $\angle$ CAD = $\angle$ BAC = $\alpha$ , BK = x. По теореме косинусов из треугольника AKD находим, что

cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{AD^{2} + AK^{2} - KD^{2}}{2AK\cdot AD}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{7}}}$ .

Тогда

sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}$ , cos 2 $\displaystyle \alpha$ = cos² $\displaystyle \alpha$ - sin² $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{7}}$ .

По свойству биссектрисы из треугольника ABD находим, что ${\frac{AB}{BK}}$ = ${\frac{AD}{DK}}$ . Поэтому

AB = $\displaystyle {\frac{AD\cdot BK}{DK}}$ = $\displaystyle {\frac{x\sqrt{7}}{2}}$ .

По теореме косинусов

BD² = AB² + AD² - 2AB^.AD cos 2 $\displaystyle \alpha$ ,

или

(x + 2)² = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{x\sqrt{7}}{2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{x\sqrt{7}}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{x\sqrt{7}}{2}}\right)^{2}_{}$ + ( $\displaystyle \sqrt{7}$ )² - 2^. $\displaystyle {\frac{x\sqrt{7}}{2}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{7}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{7}}$ .

Из этого уравнения находим, что x = ${\frac{2}{3}}$ или x = 6. Второе решение не удовлетворяет условию задачи, т.к. в этом случае BK + AK < AB (7 < 3 $\sqrt{7}$ ).

Поскольку

$\displaystyle \angle$ BCA = $\displaystyle \angle$ CAD = $\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle \alpha$ ,

то треугольник ABC — равнобедренный, BC = AB = ${\frac{\sqrt{7}}{3}}$ . Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB²sin $\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB²sin 2 $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{3}}{9}}$ .

Ответ

${\frac{2\sqrt{3}}{9}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4068