Информация о задаче

Задача 55322

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке M. Известно, что AB = BC = 2AC, AM = 4. Найдите площадь треугольника ABC.

Подсказка

Примените свойство биссектрисы треугольника и теорему косинусов.

Решение

По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{BM}{MC}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{AC}}$ = 2.

Обозначим MC = x. Тогда

BM = 2x, AB = BC = 3x, AC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB = $\displaystyle {\frac{3x}{2}}$ .

Пусть P — середина AC. Из прямоугольного треугольника BPC находим, что

cos $\displaystyle \alpha$ = cos $\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle {\frac{PC}{BC}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ .

По теореме косинусов

AM² = AC² + MC² - 2AC^.MC cos $\displaystyle \alpha$ , или 16 = $\displaystyle {\frac{9x^{2}}{4}}$ + x² - 2^. $\displaystyle {\frac{3x}{2}}$ ^.x^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ .

Из этого уравнения находим, что x = ${\frac{8}{\sqrt{10}}}$ . Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.BC sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{3x}{2}}$ ^.3x^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{15}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{18\sqrt{15}}{5}}$ .

Ответ

${\frac{18\sqrt{15}}{5}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4069