Задача 55350

Темы:    [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ] [ Теорема косинусов ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Найдите высоту трапеции, у которой основания равны a и b (a < b), угол между диагоналями равен 90^o, а угол между продолжениями боковых сторон равен 45^o.

Подсказка

Через одну из вершин меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную боковой стороне, и примените теорему косинусов.

Решение

Пусть BC и AD — основания данной трапеции ABCD, BC = a, AD = b. Обозначим боковые стороны трапеции AB = x, CD = y, а высоту — h.

Через вершину B проведём прямую, параллельную боковой стороне CD, до пересечения с основанием AD в точке K. Удвоенная площадь треугольника ABC равна

xy sin 45^o = (b - a)h.

По теореме косинусов из этого треугольника находим, что

(b - a)² = x² + y² - 2xy cos 45^o.

Пусть M — точка пересечения диагоналей трапеции. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников AMB, BMC, CMD и AMD находим, что

x² + y² = (AM² + BM²) + (CM² + DM²) =

= (AM² + DM²) + (BM² + CM²) = a² + b².

Таким образом, имеем уравнение

(a - b)² = a² + b² - 2(b - a)h,

из которого находим, что h = .

Ответ

.

Замечания

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4097
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	9
Название	Разные задачи
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)
задача
Номер	12.069
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1973
выпуск
Номер	1
Задача
Номер	М183