Информация о задаче

Задача 55359

Темы:	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
Темы:	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны два параллелограмма ABCD и A₁B₁C₁D₁, у которых O и O₁ — точки пересечения диагоналей. Докажите равенство $\overrightarrow{OO_{1}}$ = ${\frac{1}{4}}$ ( $\overrightarrow{AA_{1}}$ + $\overrightarrow{BB_{1}}$ + $\overrightarrow{CC_{1}}$ + $\overrightarrow{DD_{1}}$ ).

Подсказка

$\overrightarrow{OO_{1}}$ = ${\frac{1}{2}}$ ( $\overrightarrow{AA_{1}}$ + $\overrightarrow{CC_{1}}$ ) = ${\frac{1}{2}}$ ( $\overline{BB_{1}}$ + $\overrightarrow{DD_{1}}$ ).

Решение

Сложив почленно равенства

$\displaystyle \overrightarrow{OO_{1}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{AA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CC}_{1}^{}$ ), $\displaystyle \overrightarrow{OO_{1}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{BB_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{DD_{1}}$ ),

получим, что

2 $\displaystyle \overrightarrow{OO_{1}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{AA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CC_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{DD_{1}}$ ).

Следовательно,

$\displaystyle \overrightarrow{OO_{1}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{AA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CC_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{DD_{1}}$ ).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4508