ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55381
Темы:    [ Вневписанные окружности ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Продолжение биссектрисы угла B треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M; O — центр вписанной окружности, O1 — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Докажите, что точки A, C, O и O1 лежат на окружности с центром в точке M.


Подсказка

Докажите, что треугольники OMA и AMO1 — равнобедренные.


Решение

Поскольку

$\displaystyle \angle$AOM = $\displaystyle \angle$ABO + $\displaystyle \angle$OAB = $\displaystyle \angle$ACM + $\displaystyle \angle$OAB =

= $\displaystyle \angle$CAM + $\displaystyle \angle$OAC = $\displaystyle \angle$OAM,

то треугольник OMA — равнобедренный, MO = MA. Аналогично докажем, что MO = MC.

Угол OMO1 — прямой как угол между биссектрисами смежных углов. Обозначим $ \angle$AOM = $ \angle$OAM = $ \varphi$. Тогда

$\displaystyle \angle$MAO1 = 90o - $\displaystyle \varphi$$\displaystyle \angle$MO1A = 90o - $\displaystyle \varphi$.

Поэтому треугольник AMO1 — равнобедренный и MA = MO1. Следовательно, MA = MO = MC = MO1. Поэтому точки A, O, C, O1 лежат на окружности с центром в точке M.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4700

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .