Информация о задаче

Задача 55381

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Продолжение биссектрисы угла B треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M; O — центр вписанной окружности, O₁ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Докажите, что точки A, C, O и O₁ лежат на окружности с центром в точке M.

Подсказка

Докажите, что треугольники OMA и AMO₁ — равнобедренные.

Решение

Поскольку

$\displaystyle \angle$ AOM = $\displaystyle \angle$ ABO + $\displaystyle \angle$ OAB = $\displaystyle \angle$ ACM + $\displaystyle \angle$ OAB =

= $\displaystyle \angle$ CAM + $\displaystyle \angle$ OAC = $\displaystyle \angle$ OAM,

то треугольник OMA — равнобедренный, MO = MA. Аналогично докажем, что MO = MC.

Угол OMO₁ — прямой как угол между биссектрисами смежных углов. Обозначим $\angle$ AOM = $\angle$ OAM = $\varphi$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ MAO₁ = 90^o - $\displaystyle \varphi$ , $\displaystyle \angle$ MO₁A = 90^o - $\displaystyle \varphi$ .

Поэтому треугольник AMO₁ — равнобедренный и MA = MO₁. Следовательно, MA = MO = MC = MO₁. Поэтому точки A, O, C, O₁ лежат на окружности с центром в точке M.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4700