Информация о задаче

Задача 55382

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка O, лежащая внутри треугольника ABC, обладает тем свойством, что прямые AO, BO и CO проходят через центры описанных окружностей треугольников BCO, ACO и ABO. Докажите, что O — центр вписанной окружности треугольника ABC.

Подсказка

Докажите, что AO, BO и CO — биссектрисы углов треугольника ABC.

Решение

Первый способ.

Пусть P — центр описанной окружности треугольника ACO. Тогда

$\displaystyle \angle$ COP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (180^o - $\displaystyle \angle$ CPO) = 90^o - $\displaystyle \angle$ OAC.

Поэтому $\angle$ BOC = 90^o + $\angle$ OAC.

Аналогично $\angle$ BOC = 90^o + $\angle$ OAB. Следовательно, $\angle$ OAB = $\angle$ OAC.

Аналогично докажем, что точка O лежит на биссектрисах углов B и C.

Второй способ.

Пусть M, N и K — точки пересечения прямых CO, BO и AO с описанными окружностями треугольников AOB, AOC и BOC. Поскольку

$\displaystyle \angle$ OAM = $\displaystyle \angle$ OAN = $\displaystyle \angle$ OCN = $\displaystyle \angle$ OCK = $\displaystyle \angle$ OBK = $\displaystyle \angle$ OBM = 90^o

(вписанные углы опираются на диаметры), то MC, NB и KA — высоты треугольника MNK. Поэтому ABC — ортотреугольник треугольника MNK. Следовательно, AO, BO и CO — биссектрисы углов треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4701